32面体の面のなす角度

　サッカーボール（32面体）の面のなす角度を考えてみました。イクロウさんのHPを参考にさせてもらいました。５枚の正三角形を接ぎ合せると正五角錐が出来ます（写真）。山の高さ半分の所で水平に五角錐を切り離しますと、サッカーボールの五角形の回りを六角形が取り囲んだ状態になります。ただし左の写真のものは六角形の半分しかありませんが、角度計算には差し支えありません。この正三角形が床面に対して何度傾いているか計算できれば、六角形の面と五角形の面がなす角度がわかります。また隣り合った正三角形同士がなす角度が32面体の隣り合った六角形の面のなす角度になりますね。

　右の図1は辺の長さがl(ｴﾙ）の正三角形が床に対して角度α(ｱﾙﾌｧ）で傾いている状態です。mは正三角形の高さになるのでl×0.866です。またこの正三角形の底辺から五角形の中心（つまり五角錐の頂点から床に対して垂線を降ろしたときの床との交点）までの距離をhとするとh=l×0.688となります。mとhの値が解れば三角関数からαが計算でき、五角形と六角形の面がなす角度が解ります。142.6度と出ました。今回サッカーボール作成に使った角度143度より少し小さい値でした。

　次は隣り合う正三角形の面がなす角度の計算です。この角度が32面体の隣り合う六角形の面がなす角度になります。左の図3に示すようにＰとＥの中間点をＯとすると角ＡＯＤが求める角度になります。図4のようにこの三角形の辺の長さは求めることが出来るので、三角関数から角度γ(ｶﾞﾝﾏ）が解り、角ＡＯＤが138.2度と出ました。サッカーボール作成に使った角度139度より少し小さい値でした。次回、サッカーボールを作るとすればこの値を使ってみます。